Permutation polynomials and applications to coding theory
Yann Laigle-Chapuy
Yann.Laigle-Chapuy@inria.fr
To appear in Finite Fields and Applications.
Journées "Codage et
Cryptographie" 2005, Aussois, 30 Jan - 4 Feb 2005.
Abstract
We present different results derived from a theorem stated by Lidl and
Wan which treats specific permutations on finite fields.
We first exhibit a new class of permutation binomials and look at some
interesting subclasses.
We then give an estimation of the number of permutation binomials of the
form $X^r(X^{(q-1)/m}+a)$ for a in $F_q^*$.
Finally we give applications in coding theory mainly related to a
conjecture of Helleseth.
KEYWORDS
Finite field, permutation, permutation binomial, complete permutation,
Niho exponent, balanced codeword, cross-correlation function.
Polynômes de permutation et applications en théorie des codes
Résumé
L'étude algébrique des polynômes de permutation des corps finis est un
sujet ancien. Ces dernières années, les applications en cryptographie et
en théorie des codes ont suscité un nouvel intérêt pour ce sujet. La
recherche de nouvelles familles de polynômes de permutation a focalisé
l'attention de nombreux auteurs, pourtant relativement peu sont connues
à l'heure actuelle. Dans cet exposé, nous présenterons deux résultats
basés sur un théorème de Lidl et Wan. Tout d'abord, nous exhiberons une
nouvelle classe de polynômes de permutation des corps finis. En
particulier nous nous intéresserons aux binômes qu'elle contient.
Par la suite, nous donnerons une borne sur le nombre de poylnômes de
permutation de $\mathbb{F}_q$ du type $X^r(X^{(q-1)/m}+a)$.
Enfin, nous verrons quelques applications de ces deux résultats en
théorie des codes.