Simulation numérique de l'activité électromécanique 3D du coeur
Naturellement, le choix d'un ``bon modèle'', c'est à dire
à la fois suffisamment réaliste du point de vue de la physique
des phénomènes mis en jeu et sain du point de vue
numérique, est étroitement lié à l'analyse
numérique et aux simulations effectives que l'on peut en faire. Cette
partie du travail et celle correspondant à la modélisation en
tant que telle seront donc fortement interdépendantes.
Les aspects mécanique et électrique seront traités
séparément, le champ électrique obtenu par la simulation
numérique étant pris comme la donnée d'entrée du
modèle mécanique. Cela revient à négliger le
feedback mécano-électrique (influence des déformations sur
le comportement des canaux ioniques) récemment découvert, ce qui
est une hypothèse courante.
Activité mécanique
L'objectif est de pouvoir réaliser des simulations numériques
d'un modèle tridimensionnel qui prenne en compte la vraie
géométrie du coeur et qui soit le plus réaliste possible.
La géométrie considérée sera celle obtenue par le
projet Epidaure à partir des images médicales. Il conviendra de
faire une étude de différents modèles susceptibles de bien
représenter le comportement du muscle cardiaque et de les
évaluer. Ces modèles seront inspirés du modèle de
fibre contractile décrit par Huxley et Mirsky. En particulier le caractère fortement
anisotrope et non-linéaire du matériau sera pris en compte.
Dans un premier temps on pourra considérer la raideur
constante. Alors le comportement mécanique est de type
visco-élastique.
Pour ce qui concerne le couplage entre les déformations du muscle
cardiaque et la circulation sanguine, on envisage d'utiliser une description
simplifiée (un volume intérieur et une pression uniforme) du
fluide sanguin contenu dans les ventricules. Une des perspectives de l'ARC
pourrait être l'emploi d'une description plus fine du comportement du fluide et
de l'interaction fluide-solide correspondante.
Activité électrique
La modélisation et prédiction de phénomènes biologiques aussi
complexes que l'activité électromécanique du coeur
se heurtent à toutes sortes de difficultés dont
la moindre n'est pas l'acquisition des données
initiales (formes et caractéristiques de chaque tissu
de cet organe).
Il est très vraisemblable que l'on doive réaliser un fort
investissement au niveau modélisation et en même temps que l'on se
munisse d'outils aptes à fusionner modélisation et
observations.
La POD (Proper Orthogonal Decomposition) est une possibilité pour cette
fusion, dans la mesure où elle a été inventée (par Lumley)
pour introduire des clichés dans des calculs. En même temps, c'est une
technologie pour la realité virtuelle puisse qu'elle se prête à
la préparation de calculs qui seront ensuite extrêmement rapides.
L'analyse théorique de la POD est encore dans l'enfance; nous disposons
d'une bonne référence non encore
publiée, et Sinus a commencé
récemment à s'intéresser à ces techniques et
à contribuer par des démonstrateurs (Navier-Stokes pour mille
fois moins cher ) et un peu de théorie (conditions de
Dirichlet non-homogènes, produits scalaires
variationnels ). Nous avons
commencé à nous poser le problème de l'acclimatation de la
POD à des domaines mobiles.
La contribution de Sinus sera d'attaquer la résolution des
équations de réaction diffusion en domaine mobile, en
éléments finis et en POD à partir de clichés
tirés des calculs en éléments finis: écriture d'un
modèle EDP avec Epidaure et Sosso, choix d'une discrétisation en
domaine mobile et implémentation, réalisation de nombreux
calculs, comparaison avec les données expérimentales disponibles,
Stockage de clichés éventuellement fusionnés avec les
expériences, mise au point d'une approche POD à partir d'une
linéarisation ou quadratisation du modèle initial,
implémentation et exploitation.
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