![[BIG]](../icons/zoom18.gif){kind=icon}
![[Normal]](../icons/zoom14.gif){kind=icon}
![[small]](../icons/zoom10.gif){kind=icon}
Suiv.: 2.4 Cas des plaques Sup.: Les éléments finis élastiques Préc.: Elasticité bidimensionnelle Index Table des matières
Suiv.: 2.4 Cas des plaques
Sup.: Les éléments finis élastiques
Préc.: Elasticité bidimensionnelle
Index
Table des matières
Figure: Coordonnées cylindriques
Par hypothèses sur la géométrie du domaine, tout point M(x,y,z) est complètement défini
par les variables 
avec:
Le déplacement 
s'exprime avec ces variables comme:
où 
désigne le déplacement radial. Le déplacement est donc connu par sa composante radiale et 
sa composante axiale qui sont les 2 inconnues cherchées.
On suppose de plus que les données sont réparties de manière analogue, i.e. que
s'exprime par 
et que 
s'écrit sous
la même forme.
Comme on a :
le système général (i.e. le modèle 3D) s'écrit dans le cas isotrope :
avec
et où
, 
désignent les composantes de la normale à 
frontière déduite par
axisymétrie de 
.
De plus, les conditions limites sont : 
et 
sur
frontière déduite de par axisymétrie.
Plusieurs formulations variationnelles sont possibles, nous détaillons ici uniquement la formulation variationnelle en déplacement :
Trouver, dans l'espace 
, à chaque instant t,
les déplacements 
solution de :
de 
avec
avec
où les espaces 
sont définis par :
Le but de ce paragraphe est d'indiquer la démarche suivie lors de l'implémentation d'un élément fini pour calculer les quantités élémentaires.
Pour simplifier, on se place dans le cas stationnaire.
Le passage aux quantités élémentaires se fait de la même manière que dans le cas de la dimension 3 (cf paragraphe 2.1.3).
Soient 
, 
, ..., 
les 
polynômes de base.
On note
Alors,
la restriction à T de { u } et 
la composante i des valeurs
de la fonction u aux noeuds de l'élément T. Ensuite, on note
De même, on exprime 
en fonction de 
et de 
par
et 
s'écrivent :
) 
s'exprime en fonction de Du
s'écrit en fonction de 
par 
où 
est la matrice des déformations i.e.
la matrice ci-dessus, ainsi
En utilisant la loi de comportement, on exprime {} en fonction de {} :
avec (sous sa forme générale):
On peut alors calculer sur chaque élément T :
] la matrice élémentaire de masse,
] la matrice élémentaire de rigidité,
] le second membre élémentaire et
] les contraintes élémentaires
Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux (voir également le cas de la dimension 3 paragraphe 2.1.4).