Suiv.: 2.2 Les modules COMAC2COMAC3 et Sup.: 2 Interpolation Préc.: 2 Interpolation Index Table des matières

Généralités

Dans la bibliothèque Modulef, l'étape d'interpolation consiste en :

• choix du type de problème (thermique - élastique - ...)
• choix de l'interpolation physique
• choix de l'interpolation géométrique

Nous donnons maintenant quelques informations sur chacune de ces trois étapes, ainsi que quelques principes généraux sur l'utilisation des modules d'interpolation.

Choix du type de problème

Le type de problème à résoudre est donné par l'intermédiaire du nom de la bibliothèque ( NOMBIB) et du nom du ou des éléments finis utilisés (tableau ICODEL). Deux possibilités se présentent,

1. l'utilisateur appelle une ou des bibliothèques existantes (ELAS, THER, FLUI ou une bibliothèque personnelle)
2. l'utilisateur utilise des cartes de données (cette dernière possibilité est possible uniquement si l'on utilise le module COMACO).

2.1.2 Interpolation physique

La formulation variationnelle d'un problème nous donne les inconnues variationnelles ou fonctionnelles de ce problème continu (par opposition au problème discret).

Chacune des inconnues variationnelles est, par définition de la méthode des éléments finis, interpolée sur tout ou une partie d'un élément par une fonction simple, généralement un polynôme, qui fait partie d'un espace vectoriel de dimension finie. Un choix de base particulièrement intéressant fait intervenir comme coefficient, la valeur de l'inconnue, de ses dérivées ou ..., en certains noeuds de l'élément.

La connaissance des inconnues en chaque noeuds de l'élément entraîne celle de la solution sur tout l'élément. Ces valeurs discrètes une fois regroupées pour tous les éléments qui recouvrent le domaine, constituent les inconnues du système linéaire global. L'étude des structures mécaniques ayant été la source de la méthode des éléments finis, Zienkiewicz a nommé une telle inconnue degré de liberté généralisé .

La signification d'un degré de liberté (en abrégé d.l.) peut être diverse. Afin de fournir des résultats clairs, un mnémonique , repéré par un numéro de code, est associé à chacun d'eux :

1 : VN

valeur au noeud

2 : DX

dérivée en X au noeud

...

15 : DDTN

dérivée seconde tangente-normale au noeud

Généralement, le d.l. exprime une valeur de l'inconnue variationnelle ou de ses dérivées en un point. Ce point qui supporte les degrés de liberté d'au moins une inconnue variationnelle sera appelé désormais un noeud .

Un noeud peut supporter un ou plusieurs d.l. de une ou plusieurs inconnues variationnelles et, pour une inconnue existe une hiérarchie.

Exemple 1 :

inconnue variationnelle 1	:	VN
		DX
		DY
		DZ
inconnue variationnelle 2	:	VN
		DN

Les numéros locaux des d.l. de ce noeud sont respectivement 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Un élément fini comprend plusieurs noeuds (sauf s'il simule un ressort).

La numérotation locale des noeuds de l'élément est, quant à elle, fixée suivant la probabilité de plus grande utilisation c'est-à-dire :

• les sommets,
• les noeuds des arêtes,
• les noeuds des faces,
• les noeuds des internes.

La numérotation locale de l'ensemble des d.l. des noeuds d'un élément se déduit de celle des noeuds : les d.l. du premier noeud d'abord, ceux du second ensuite ...

Exemple 2 :

inconnue 1 : VN valeur au noeud DX dérivée en X DY dérivée en Y inconnue 2 : VN valeur au noeud inconnue 2 : VN valeur au noeud inconnue 1 : VN valeur au noeud

soit une interpolation

• P3-Hermite pour la 1ère inconnue variationnelle
• P2-Lagrange pour la 2ème inconnue variationnelle

numéro de d.l.	9	10	11	12	13	14	15	16
noeud	3				4	5	6	7
mnémonique	VN(1)	DX(1)	DY(1)	VN(2)	VN(2)	VN(2)	VN(2)	VN(1)

où VN(i) désigne la valeur au noeud de la i-ème inconnue variationnelle.

Un maillage comprend de nombreux éléments. Certains noeuds sont communs à plusieurs éléments. Par suite, les d.l. de ces noeuds sont généralement communs à ces éléments.

Exemple 3 :

Le noeud est commun aux 5 éléments mais fournit au système global à résoudre, dans le cadre de l'exemple 2 seulement 4 d.l. :

Afin de décrire sans ambiguïté les noeuds d'un élément du maillage une méthode consiste à les numéroter globalement de 1 à NOE.

Un élément est topologiquement décrit par la liste de ses noeuds dans cette numérotation globale. Cette numérotation globale des noeuds induit celle, globale, des degrés de liberté, cette numérotation varie de 1 à NTDL, où NTDL est la dimension du système à résoudre.

Exemple 4 :
Si l'on reprend le même type d'interpolation que dans l'exemple 2, la numérotation des d.l. des noeuds décrits en figure 2.1 est donnée dans le tableau 2.1.

 
Figure:  

	Sommets												Milieux			Barycentre
noeud	1				10				12				2	11	3	13
n°d.l.	1	2	3	4	30	31	32	33	35	36	37	38	5	34	6	44

Table: Numérotation des degrés de liberté des noeuds 

Comment s'y retrouver parmi toutes ces numérotations ?

• La présentation des noeuds (respectivement d.l.) est celle de la numérotation locale des noeuds (respectivement d.l.). Le module COMACO construit la S.D. MAIL et présente les numéros globaux des noeuds dans l'ordre de la numérotation locale des noeuds.
• La S.D. NDL1, construite par le module CONDL1, exploitée à l'aide des fonctions LRNDL1 et NDL retourne pour chaque noeud du maillage le numéro global du dernier degré de liberté associé à ce noeud. Pour plus de détails sur le module CONDL1 et les fonctions LRNDL1 et NDL, consultez le paragraphe 2.4 page .

• le nombre de ses inconnues variationnelles
• le nombre et le numéro du mnémonique associé à chacun de ses degrés de liberté.

Exemple :
Soit un domaine recouvert par des triangles de type identique à ceux défini dans l'exemple 1: il est composé de trois types de noeuds :

Type 1	:	les sommets	inconnue variationnelle 1	VN
				DX
				DY
			inconnue variationnelle 2	VN
Type 2	:	les milieux des côtés	inconnue variationnelle 2	VN
Type 3	:	les barycentres	inconnue variationnelle 1	VN

Interpolation géométrique

Généralement, les matrices et seconds membres associés à un élément fini T sont calculés à partir d'un changement de variables c'est à dire d'une transformation notée qui envoie l'élément de référence sur l'élément réel T. Cette application est définie à partir de données telles que les coordonnées de certains points ou les tangentes en ces mêmes points.

Nous dirons qu'un point   sert à définir la transformation , appelée encore métrique ou géométrie de l'élément.

Il convient de se rappeler qu'un noeud est un support de degrés de liberté. Un point est défini par ses coordonnées mais aussi parfois par des directions tangentes aux arêtes courbes ... Ces autres coordonnées sont appelées caractéristiques associées au point.

Afin de les caractériser, à chacune d'elles est associé un mnémonique qui pour simplifier les données est identique dans sa présentation à celui des d.l. des noeuds. C'est logique car les coordonnées et caractéristiques des points sont les degrés de liberté de l'application .

Par suite,

VN	de numéro de code 1	désigne les coordonnées
DTG	de numéro de code 5	désigne une tangente première
DDTG	de numéro de code 13	désigne une tangente seconde

Bien entendu, à chaque mnémonique d'un point correspondent NDIM composantes donc NDIM valeurs (où NDIM est la dimension de l'espace).

Etant donné qu'il peut y avoir plusieurs tangentes au même point, leur présentation devra être synchrone avec leur utilisation. La fiche technique d'un tel élément est explicite sur ce sujet.

De façon analogue aux noeuds, un maillage comprend plusieurs points mais un faible nombre d'entre eux suffit à les caractériser, ce sont les types de points .

Les coordonnées et caractéristiques des points sont rangées dans le tableau COO4 de la S.D. COOR. Si les coordonnées d'un point sont stockées d'après le numéro global de ce point, les composantes des caractéristiques sont rangées par élément.

Les numéros des points n'ont aucune raison particulière d'être consécutif. En effet, ils servent seulement à retrouver les coordonnées dans le tableau COO4. Par suite, un point peut même avoir plusieurs numéros dont les coordonnées identiques apparaîtront plusieurs fois dans le stockage.

Ainsi, un point peut avoir plusieurs types mais, dans un élément, il n'en a qu'un seul. Comme le travail s'effectue élément par élément, il n'y a pas d'ambiguïté.

Si l'on utilise des éléments finis de la bibliothèque, par sous-domaine, les types d'éléments possibles sont :

• au plus un triangle droit ou courbe
• et/ou au plus un quadrangle droit ou courbe
• ...

La métrique et la topologie ont été totalement dissociées : les noeuds d'une part, les points d'autre part, la S.D. MAIL d'une part la S.D. COOR d'autre part. Ainsi le passage d'éléments droits à éléments courbes peut être effectué sans modifier les noeuds ; des perturbations d'un maillage sans dégénérescence d'éléments peuvent être gérées en ne modifiant que les valeurs du tableau COO4.

A chaque élément constituant le maillage sont associés des attributs physiques :

• un numéro de sous-domaine : il permet de distinguer deux mêmes milieux soumis à des conditions différentes, les sous-domaines droits des sous-domaines courbes.
  Lors de l'appel des modules d'interpolation COMACO, COMAC2 ou COMAC3, un paramètre d'entrée, le tableau NOSDC, permet de décrire tous les sous-domaines courbes ;

• les numéros de références : ils permettent de situer tel élément par rapport à certaines surfaces ou lignes courbes ou brisées du domaine caractérisées par l'utilisateur. Ces surfaces ou lignes seront spécifiées dans la mesure où certaines variables et/ou tableaux leur seront attachées.
  Un élément est dit interne si à aucune de ses faces, arêtes ou sommets est associé un numéro de référence non nul.
  Un numéro de référence non nul correspond à une surface ou une ligne droite ou courbe que l'on désire caractériser, par exemple, il peut permettre de forcer un élément à s'appuyer sur une courbe donnée.
  Lors de l'appel des modules d'interpolation COMACO, COMAC2 ou COMAC3, deux paramètres d'entrée permettent de décrire les surfaces et lignes courbes :
  • le tableau NOSC contient les numéros de références des surfaces courbes (uniquement utilisé en 3D)
  • le tableau NOFC contient les numéros de références des lignes courbes

Un maillage, s'il comprend plusieurs dizaines, centaines ou milliers d'éléments en contient en fait un grand nombre du même type.

Si un type d'élément est totalement caractérisé et si le type de chaque élément du maillage est stocké, alors d'une part aucune ambiguïté n'est à craindre, d'autre part, le nombre d'informations à conserver pour un élément courant est minimisé et les risques d'erreurs sont réduits d'autant. Un type d'élément  caractérise qualitativement un grand nombre d'éléments du maillage. Chaque type d'élément est défini lorsque sont fixées :

• la formulation variationnelle
• l'interpolation de chaque inconnue variationnelle
• la transformation
• les formules d'intégration numérique éventuelles

Une modification de l'un de ces termes (quelqu'il soit), conduit à la création de deux types d'éléments distincts. Les informations nécessaires pour la description d'un type d'élément sont :

• le nom de la bibliothèque et le nom du type d'élément
• le numéro de code
• le code de géométrie
• le nombre de noeuds, les coordonnées de chaque noeud dans l'élément de référence correspondant à sa géométrie, le type de chaque noeud
• le nombre de points, les coordonnées de chacun dans l'élément de référence correspondant à sa géométrie, le type de chaque point
• le nombre maximum de ses tableaux joints dans le maillage

Les tableaux joints à un type d'élément permettent de stocker un grand nombre d'informations sur cet élément :
Pour chaque élément frontalier, nous stockons le numéro de référence de ses sommets et/ou de ses arêtes et/ou de ses faces.
Comme un noeud est soit un sommet, soit sur une arête, soit sur une face, soit interne à l'élément, le numéro de référence de la géométrie sur laquelle il s'appuie détermine son numéro de référence.
Si l'élément est frontalier ou référé, le numéro de référence de chaque noeud est immédiatement déduit, sinon, si il est interne, aucun numéro n'est utilisé.
Ainsi on peut retrouver aisément le coefficient d'échange de telle face, les types des conditions aux limites de telle arête ...

Il est nécessaire de décrire le nombre maximum des tableaux qui peuvent être joints à un type d'élément mais, un élément pourra en supporter moins. C'est le cas, par exemple, des éléments internes pour lesquels il n'est pas nécessaire de stocker des zéros (convention d'une position interne). C'est la raison pour laquelle, pour chaque élément on mentionne le nombre de tableaux à lire. Cependant, ces tableaux absents doivent être les derniers et, par exemple, l'avant dernier ne peut être absent si le dernier ne l'est pas.
L'adjonction du tableau des numéros de frontières des arêtes puis des sommets des éléments frontaliers issus de la S.D. NOPO est automatique lors de l'exécution de COMACO (COMAC2 et COMAC3) ; l'utilisateur n'a pas à s'en occuper.

Selon toutes ces notions et leur mode de stockage respectif, un élément courant est décrit très précisément par :

• son numéro global de 1 à NE
• son numéro de type d'élément
• son code de situation :
  • 0 si il est interne
  • > 0 si il est frontalier, et cette valeur correspond au nombre de mots nécessaires au stockage de ses numéros de référence
• son numéro de sous-domaine
• le nombre de ses tableaux joints présents
• l'adresse des caractéristiques de ses points quand elles ne se réduisent pas à ses seules coordonnées
• le numéro de ses noeuds
• le numéro de ses points
• les valeurs des coefficients de ses tableaux joints

Lorsque la bibliothèque d'éléments finis est utilisée pour définir les types d'éléments finis construits sur le maillage, la notion d'élément courbe apparaît.
Un élément courbe est

• soit un élément dont le numéro de sous-domaine est courbe,
• soit un élément frontalier dont le numéro de référence d'une face, d'une arête ou d'un sommet correspond à un numéro de surface ou ligne courbe,
• soit encore un élément dont les points sont les sommets plus d'autres caractéristiques ; c'est en particulier le cas des éléments finis isoparamétriques (exception faite du quadrilatère à 4 noeuds et de l'hexaèdre a 8 noeuds qui sont des éléments finis isoparamétriques mais dans la terminologie Modulef des éléments droits).

Nous avons vu qu'il est possible de travailler avec des éléments courbes, dans ce cas, les points non sommets sont obtenus par transformation de leurs coordonnées sur l'élément de référence, projetés sur le sous-domaine, la face ou la ligne courbe ; cette transformation est affine pour un triangle et pour un tétraèdre (P1), quadratique pour un quadrilatère et un hexaèdre (Q1), mixte pour un pentaèdre. La fonction FFRONT et le sous-programme CALFC permettent de décrire les équations des lignes et surfaces courbes.
Nous précisons maintenant l'utilisation de ces deux sous-programmes.

Dans le cas bidimensionnel,

la projection est faite, perpendiculairement à l'arête, sur la ligne courbe définie par l'équation FFRONT(I,X,Y,Z) = 0

Dans le cas tridimensionnel,

deux cas se présentent :

• l'élément est un triangle ou un quadrangle : si le point est sur une arête, et si le numéro de référence correspond à un numéro de ligne courbe, la projection sera faite sur la ligne courbe,
  la ligne courbe est décrite dans le sous-programme CALFC, en tant qu'intersection de deux surfaces.

  Si le numéro de référence ne correspond pas à un numéro de ligne courbe, ou si le point est interne, le numéro de référence I du sous-domaine courbe est recherché ; si un tel numéro existe, la projection est faite sur le sous-domaine courbe dont l'équation est donné par le sous-programme
  CALFC(I,X,Y,Z,F).

• l'élément est un tétraèdre, pentaèdre ou hexaèdre : dans ce cas la notion de frontière courbe n'a de sens que pour les faces.
  La projection du point est effectuée si son numéro de référence correspond à une surface courbe, la projection est alors faite, perpendiculairement à la face, sur la surface courbe dont l'équation est donnée par le sous-programme CALFC(I,X,Y,Z,F).
  Les projections d'un même point , appartenant à deux faces, ou de deux points identiques appartenant à deux éléments différents, peuvent être distinctes ( et ). Dans ce cas, le point projeté sera le point de la surface courbe, appartenant à la bissectrice de l'angle (). Lorsque l'ensemble des points de l'ensemble des éléments sont traités, on recherche si les points stockés correspondent à des points identiques (de même coordonnées) qui ont été projetés. Dans ce cas, les coordonnées du point stocké sont égales à celles de la projection.

2.1.4 Principes d'utilisation des modules COMAC2, COMAC3 et COMACO

• Dans ce paragraphe, nous précisons l'utilisation des éléments courbes .
  Nous rappelons tout d'abord la notion d'élément droit  et courbe :

  Définition :
  
  

  élément droit :

  les points sont les sommets, il n'y a donc pas de calcul de coordonnées lors de l'étape d'interpolation, donc pas de projection ni de frontières courbes,

  élément courbe :

  les points sont les sommets plus d'autres caractéristiques, il y a des calculs de coordonnées, et donc éventuellement des projections et des définitions de surfaces courbes.

  Lors de l'appel de chacun des modules d'interpolation, l'utilisateur précise le nombre et le nom des éléments droits et courbes utilisés. Si deux éléments de type différent mais de même géométrie apparaissent, l'un en élément droit l'autre en élément courbe, le programme affecte

  • le type droit aux éléments qui n'ont pas de frontières courbes et,
  • le type courbe à ceux dont une arête ou une face est référencée à un numéro de ligne courbe.
  Par contre, la classification des éléments en éléments de type droit ou courbe correspond à la définition donnée ci-dessus. Les deux exemples ci-dessous précisent ces notions.

  Exemple 1 :

  On désire discrétiser le domaine présenté sur la figure 2.2, à l'aide de élément fini droit TRIA 2P2D et de l'élément fini courbe TRIA 2P2C.

  Le tableau 2.2 nous donne les différentes possibilités de répartition de ces éléments dans le domaine 2.2.

   
  Figure: Domaine d'étude 1 
  

   

  	Cas 1	Cas 2	Cas 3	Cas 4
  Données :
  élément droit	TRIA 2P2D	TRIA 2P2D	TRIA 2P2D
  élément courbe	TRIA 2P2C		TRIA 2P2C	TRIA 2P2C
  lignes courbes	1 : ligne 2-3	0	a) 0	1 : ligne 2-3
  			b) 1 : ligne 2-3
  Résultats :
  élément droit	1, 2	1, 2, 3, 4		données
  élément courbe	3, 4		1, 2, 3, 4	incohérentes
  (noeuds projetés)	7, 9		a)
  			b) 7, 9

  Le cas 4 est incohérent car les éléments 1 et 2 sont de type droit alors qu'aucun élément de ce type n'a été déclaré.

  
  Table: Répartition des éléments droits et courbes 
  

  Remarque : Dès qu'un élément n'a pas un numéro de référence correspondant à une frontière courbe, il faut définir des éléments droits.

  Exemple 2 :

   
  Figure: Domaine d'étude 2 
  

  On désire discrétiser le domaine défini sur la figure 2.3, à l'aide de l'élément fini courbe TRIA 2P2C (le nombre de lignes courbes est nul).
  

  	Cas 1	Cas 2	Cas 3
  élément droit	TRIA 2P2C		TRIA2P2C
  élément courbe		TRIA 2P2C	TRIA2P2C

  Parmi ces trois jeux de données un seul le troisième est correct. En effet, le cas 2 est faux (cf Remarque précédente) ; le cas 1 également puisque l'élément TRIA 2P2C est de type courbe et que cette caractéristique n'a pas été introduite.

• Dans la S.D. COOR, seules les coordonnées des points sont stockées or, lorsque noeuds et points ne coïncident pas partout, par exemple l'élément P2 Lagrange droit TRIA 2P2D, il est parfois nécessaire de connaître les coordonnées des noeuds des éléments, (lorsque l'on décrit les conditions aux limites forcées), le module CORNOE décrit au chapitre 2.3 page effectue ce calcul.
• Lorsque l'on utilise des éléments finis dont l'interpolation est de type P2 ou Q2 Lagrange, ou plus généralement lorsque les noeuds ne sont pas les sommets il est nécessaire, lors de la réalisation du maillage, de faire appel au mot clé ADPO afin de définir les noeuds du maillage.