Modulef
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Modélisation

Figure 5.1: La surface moyenne de la coque

Dans le cas où une dimension du domaine est petite par rapport aux deux autres, si le matériau est homogène isotrope et si les efforts appliqués sont suffisamment faibles pour que l'hypothèse des petites perturbations soit valable, alors, le modèle tridimensionnel général, par intégration sur l'épaisseur, donne un modèle bidimensionnel qui approche bien le problème. Dans le cas où la surface moyenne est quelconque( Par opposition avec le cas des plaques, voir ci-dessus.), ce modèle est celui des coques. Plus précisément nous prendrons le modèle de coque de Koiter.

Soit un ouvert borné de de frontière . La surface moyenne de la coque est l'image dans de l'ensemble par une carte :

L'épaisseur de la coque est définie par l'application:

La coque est alors le sous-ensemble fermé de défini par:

L'expression du tenseur des déformations de la coque se ramène en première approximation à l'évaluation des 2 tenseurs de surface suivant:

le tenseur de déformation de la surface moyenne:
le tenseur de changement de courbure:

où

désignent les première et seconde formes fondamentales de la surface moyenne S avant déformation et

ces mêmes formes pour la configuration déformée, i.e.

Aux vecteurs

on associe les vecteurs

du plan tangent définis par

Ces vecteurs sont liés aux

par:

On désigne par le champ de déplacement des points de la surface S et on pose ; les trois fonctions sont les inconnues du problème. On montre alors qu'il est possible d'exprimer les tenseurs et introduits ci-dessus en fonction de .