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Le problème de la piézoélectricité tridimensionnelle

Le problème de la piézoélectricité (ou piézoélasticité) peut en fait être considéré comme une généralisation du problème de l'élasticité (voir chapitre 1). En effet, une céramique (ou un polymère) piézoélectrique est en fait un matériau élastique mais capable de coupler (de façon significative) les énergies élastiques et électriques. En d'autres termes, sous l'effet d'un champ électrique, une structure piézoélectrique sera le siège de champs de déformations et de contraintes induits (c'est un effet que l'on peut qualifier de moteur). Inversement, soumis à des efforts extérieurs conduisant à des champs de déformations et contraintes, la structure piézoélectrique produira un champ électrique induit (c'est l'effet capteur). On voit donc que pour prendre en compte ce phénomène, on a à introduire en plus des équations fondamentales utilisées en élasticité, les lois de comportement traduisant les couplages élastoélectriques, mais également l'équation au dérivées partielles régissant le comportement électrique.

On considère donc un domaine de occupé par une structure piézoélectrique dans son état initial (ou moyen si l'on travaille dans un régime harmonique au cours du temps). On suppose que le milieu continu est soumis à l'action de force de volume de densité et à l'action de forces de surface de densité s'exerçant sur la partie de la frontière . On suppose de plus qu'une partie de cette frontière est encastrée et que . De plus, le milieu est soumis à l'action de charges électriques de densité surfacique q s'appliquant sur la partie de . Enfin, on suppose que le potentiels électrique est imposé sur une partie de , telle que: .

Le problème consiste en la détermination, à tout instant t, du champ des déplacements et du potentiel électrique en tout point M de ainsi que le champ des contraintes et éventuellement, les densités de charges q sur , ce à partir de la configuration initiale donnée , .

• Modélisation en E.D.P.
• 1.2 Formulation variationnelle
• Généralités sur le traitement du problème
• Le système global