Suiv.: 3.2 Thermique bidimensionnelle
Sup.: Les éléments finis thermiques
Préc.: Les éléments finis thermiques
Index
Table des matières
Soit la région de
occupée par la structure dans son
état initial. On suppose que le milieu continu
est soumis
à une distribution de puissance volumique de densité
et à l'action
d'un flux de densité
s'exerçant sur la partie
de la frontière
. On suppose de plus qu'une partie
de
cette frontière est à une température imposée et que
.
Le problème est de déterminer le champ des températures u
en tout point M de ainsi que le champ des flux de température
à tout instant t à partir de la configuration initiale donnée
.
La formulation de ce problème en équations aux dérivées partielles (E.D.P.) est donnée ci-dessous :
avec
Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles selon l'inconnue la plus importante à trouver : la température ou le flux.
Pour simplifier, seul le problème stationnaire est traité (le terme
de 3.1 n'est pas considéré),
et la dépendance par rapport au temps t est volontairement négligée.
La variable d'espace (x,y,z) est désignée par
.
Le problème s'écrit comme suit :
Trouver, dans l'espace la température u solution de :
où l'espace est défini par :
en pratique une formule de quadrature est nécessaire. Alors, 3.2 est remplacée par :
avec
où () respectivement
(
)
désigne la formule d'intégration numérique sur T et
.
L'inconnue primordiale n'est plus la température mais le gradient de chaleur.
Soient
On recherche (p=grad u) tel que
Sous certaines conditions de régularité, la solution p=grad u de 3.4 est solution de 3.1 et réciproquement.
Trouver (p = grad u, u ) tel que
où
et a(.,.) et b(.,.) sont des formes
bilinéaires définies respectivement dans et
par
Sous certaines conditions de régularité, la solution (p, u) de 3.5 est solution de 3.1 et réciproquement.
Exemples : TETR M3T1, TRIA MT10, QUAD MQ10, TRIA MT21, QUAD MQ21, HEXA M3H1
Soient
Trouver tels que
Sous certaines conditions de régularité, la solution de 3.6 est solution
de 3.1 et réciproquement.
Exemples : TRIA HT10
Soient
Trouver
tel que :
avec
Sous certaines conditions de régularité, la solution
de 3.7 est solution
de 3.1 et réciproquement.
Exemples : TRI2 THD2
Soient
où a(.,.), b(.,.) et d(.,.) sont définies dans 3.8
Sous certaines conditions de régularité, la solution
de 3.9 est solution
de 3.1 et réciproquement.
Par rapport à la formulation hybride
duale( 3.7) où est la
trace d'une fonction de
donc dans
, cette contrainte de
continuité a été diminuée à
et une continuité sur chaque
arête extrémités non comprises.
Exemples : TRI2 TEQ2
Dans tout ce qui suit, on considère le cas d'une formulation en température, sans tenir compte des effets des déformations d'origine élastique initiales. L'indice h est ignoré.
Le problème à résoudre s'écrit donc :
Soient ,
, ...,
les
polynômes de base. On note
Alors,
Ensuite, on note
De même, on exprime en fonction de
[ D P] et de
par
Avec pour matrice de conductivité (donnée sous sa forme générale):
Avec ces notations on peut écrire
Pour chaque élément, on appelle :
Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds
membres globaux qui s'écrivent, en notant le vecteur des
degrés de liberté, regroupés noeuds par noeuds, comme:
Trouver vérifiant
sur
pour tout tel que v= 0 sur
avec la matrice permettant de passer de la numérotation locale à la numérotation
globale i.e.
. L'opération
correspondante représente la phase d'assemblage; elle s'écrit, dans le cas de
la matrice de rigidité par exemple, comme:
Le système ainsi obtenu peut être résolu par une méthode directe ou itérative (cf [Guide Modulef - 5]).