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La méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis consiste à chercher une solution approchée du problème 1.2 en se plaçant dans un espace de dimension finie. La résolution se déroule en plusieurs étapes :

• l'analyse mathématique du problème de départ avec, en particulier, son écriture sous forme variationnelle et l'étude des propriétés :
  • existence de la solution
  • unicité de la solution
  • propriétés de convergence
• l'implémentation
  • la création de la triangulation  (le maillage, noté ) du domaine à considérer ;
  • la définition du ou des éléments finis c'est-à-dire la construction de l'espace de dimension finie ;
  • la génération des tableaux élémentaires correspondants à la contribution de chaque élément T de , i.e. à la (aux) matrice(s), au second membre du système et aux contraintes ;
  • la formation du système à résoudre (ou assemblage) ;
  • la prise en compte de conditions aux limites essentielles ou non naturelles;
  • la résolution du système, i.e. le calcul du champ approchant la solution cherchée ;
  • la présentation et l'exploitation des résultats.

Quelques détails sur ces différentes étapes :

• la création du maillage consiste à recouvrir le domaine à l'aide d'éléments géométriques de manière aussi fidèle que possible (h fait référence à la taille des éléments) ;
• la construction de l'espace de dimension finie s'effectue en associant à chaque élément T du maillage le couple () avec :
  • un espace, généralement polynômial, de dimension finie ,
  • un ensemble de degrés de liberté

    formes linéaires 1 i définies sur l'espace . Le triplet () est un élément fini si l'ensemble est unisolvant c'est à dire s'il existe fonctions de l'espace linéairement indépendantes, telles que :

    
    Ces fonctions sont appelées fonctions de base.

   
  Figure: Deux exemples d'élément fini 
  

  Prenant l'exemple du triangle à 3 noeuds correspondant à l'interpolation de Lagrange de degré 1 (cf figure 1.1) on a :

  • = : les polynômes de degré inférieur ou égal à 1 en x et y,
    =3
  • et,
    , avec = (coordonnées barycentriques).

  Pour le triangle à 6 noeuds correspondant à l'interpolation de Lagrange de degré 2 (cf figure 1.1) on a :
  • = les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en x et y,
    

  • et,
    ,
    
    
  V est approché par l'espace , espace des fonctions ayant une certaine régularité, dont la restriction à T est un élément de . Si on considère des éléments finis de Lagrange conformes (comme ceux de l'exemple ci-dessus), la condition aux limites étant u= sur (une partie de la frontière ), le problème 1.2 s'écrit :

   

  avec l'espace de solution classique et

  
  Alors,
  
  Le choix de étant fait, le problème s'écrit maintenant :

   

  En pratique ce problème (1.4) conduit à des calculs d'intégrales qui s'avèrent, sauf cas d'espèce, impossibles. On est donc amené à utiliser des schémas d'intégration numérique et par suite à résoudre, le problème 1.5, un problème approché du précédent.

   

  où (.,.) est une approximation de la forme bilinéaire a et une approximation de la forme linéaire l obtenues par utilisation de l'intégration numérique.

• la génération des tableaux élémentaires correspondants à la contribution de chaque élément T à la (aux) matrice(s), au second membre du système et aux contraintes. Le présent rapport a pour but de développer cette phase du processus;
• pour les phases suivantes, on se reportera aux guides Modulef [Guide Modulef - 5] [Guide Modulef - 6].