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2.5 Cas des coques

Modélisation

 
Figure 2.5: La surface moyenne de la coque 

Dans le cas où une dimension du domaine est petite par rapport aux deux autres, si le matériau est homogène isotrope et si les efforts appliqués sont suffisamment faibles pour que l'hypothèse des petites perturbations soit valable, alors, le modèle tridimensionnel général, par intégration sur l'épaisseur, donne un modèle bidimensionnel qui approche bien le problème. Dans le cas où la surface moyenne est quelconque( Par opposition avec le cas des plaques, voir ci-dessus.), ce modèle est celui des coques. Plus précisément nous prendrons le modèle de coque de Koiter.

Soit un ouvert borné de R² de frontière . La surface moyenne de la coque est l'image dans R³ de l'ensemble par une carte :

L'épaisseur de la coque est définie par l'application:

La coque est alors le sous-ensemble fermé de défini par:

L'expression du tenseur des déformations de la coque se ramène en première approximation à l'évaluation des 2 tenseurs de surface suivant:

• le tenseur de déformation de la surface moyenne:
  
• le tenseur de changement de courbure:
  

On désigne par le champ de déplacement des points de la surface S et on pose ; les trois fonctions sont les inconnues du problème. On montre alors qu'il est possible d'exprimer les tenseurs et introduits ci-dessus en fonction de .

L'énergie de déformation de la coque associée à un champ de déplacement donné de la surface moyenne S s'écrit:

avec E le module de Young et le coefficient de Poisson et

Le travail des forces extérieures s'écrit:

2.5.2 Formulation variationnelle

Trouver dans l'espace

avec :

Ce problème peut être approché par des méthodes d'éléments finis conformes à l'aide du triangle d'Argyris de degré 5 (élément TRIA ARGC). L'implémentation est détaillée dans [Bernadou].