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2.4 Cas des plaques

Modélisation sous forme d'équations aux dérivées partielles

 
Figure: Présentation du problème 

Dans le cas où une dimension du domaine est petite par rapport aux 2 autres, si le matériau est homogène isotrope et si les efforts appliqués sont normaux au plan définissant la petite dimension et suffisamment faibles pour que l'hypothèse des petites perturbations soit valide, alors, le modèle tridimensionnel général, par intégration sur l'épaisseur, donne un modèle bidimensionnel qui approche bien le problème. Dans le cas où la surface moyenne est plane( Dans le cas inverse, on trouve les modèles de coques, voir plus bas.), ce modèle est celui des plaques dans lequel on calcule w la flèche de la plaque qui satisfait, en suivant le modèle de Kirchhoff, à l'E.D.P. suivante:

avec

• e l'épaisseur de la plaque,
• la densité volumique du matériau,
• D le module de rigidité à la flexion i.e. ,
• E le module de Young et le coefficient de Poisson

• dans le cas d'une plaque encastrée: ,
• pour un appui simple: où est le moment de flexion (que l'on trouvera en utilisant la formule de Green),
• pour une plaque libre: où est l'effort tranchant effectif (ces quantités apparaîtront par application de la formule de Green).

où l'on note . Par ailleurs,

Dans le cas transitoire, on ajoute la condition initiale portant sur w et sur , c'est-à-dire les deux valeurs au temps initial.

2.4.2 Formulations variationnelles

Formulation en déplacement

Dans le cas d'une plaque encastrée (cas ci-dessus), une formulation possible est la suivante:

Trouver, à chaque instant t, la flèche w dans l'espace

solution de :

ou après discrétisation trouver, à chaque instant t, la flèche dans l'espace

avec :

Autres formulations

L'idée est d'introduire une deuxième inconnue u liée à w par des relations différentes (ce qui donne différentes méthodes) et à découper le problème sous la forme :

Trouver, à chaque instant t, le couple (u,w) dans l'espace solution de

avec des choix différents pour les espaces et les opérateurs .

La formulation mixte de type Hellan-Hermann-Johnson

correspond aux choix suivants :

Par cette méthode on obtient une solution telle que et .

Pour la valeur k=0 , l'expression b(.,.) se simplifie en

et par introduction de multiplicateurs de Lagrange, il n'est pas nécessaire d'imposer la continuité des moments aux interfaces.

On introduit l'espace:

et la forme bilinéaire c(.,.) définie par:

où

le problème se réécrit sous la forme:

On résout ce système (c'est l'exemple de l'élément TRIA HHJ1).

Une formulation hybride duale

correspond aux choix suivants :

Pour chaque entier m>0,r>2,s>0 on définit:

avec

et le choix

permet d'obtenir une solution qui pour le choix r=3,s=m=1, c'est-à-dire l'élément TRIA H31D, est telle que dans T et aux interfaces entre éléments.