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Le problème de l'élasticité tridimensionnelle

 
Figure: Présentation du problème 

Soit la région de occupée par la structure dans son état initial. On suppose que le milieu continu est soumis à l'action de forces de volume de densité et à l'action de forces de surfaces de densité s'exerçant sur la partie de la frontière . On suppose de plus qu'une partie de cette frontière est encastrée et que .

Le problème est de déterminer à tout instant t le champ des déplacements en tout point M de ainsi que le champ des contraintes à partir de la configuration initiale donnée .

Modélisation en E.D.P.

La formulation de ce problème en équations aux dérivées partielles (E.D.P.) est donnée ci-dessous.

Par la suite, la convention des indices répétés est utilisée et, désigne , ...

avec

• (x,y,z,t) le déplacement, à chaque instant t, du point courant (x,y,z).
• la densité volumique du matériau,
• la composante j de la normale unitaire extérieure à ,
• les efforts volumiques appliqués à et les efforts surfaciques appliqués sur ,
• le déplacement imposé sur ,
• la condition initiale (t=0),
• (u) le tenseur des déformations linéarisé symétrique de Green Lagrange (hypothèses des petites déformations)
  
  
  
• (u) le tenseur des contraintes.

  Le tenseur des contraintes est lié au tenseur des déformations par la loi de comportement :

   

  où désigne le tenseur d'élasticité. Ce tenseur vérifie les propriétés suivantes :

  

  Lorsque le milieu continu est homogène isotrope, la loi de comportement (loi de Hooke) s'écrit en fonction des coefficients de Lamé et :

  

  où est le symbole de Kronecker.

  Les coefficients de Lamé et sont reliés à E le module de Young et le coefficient de Poisson par

   

  De plus,

  • en présence de contraintes initiales, la loi de comportement devient:

    

    avec les contraintes initiales

  • en cas de couplage thermique, la loi de comportement devient :

    

    avec

    
    où
    • est le tenseur symétrique des déformations thermiques
    • le tenseur des dilatations thermiques,
    • la température à l'instant t au point (x,y,z) et,
    • la température à l'instant t=0 au point (x,y,z).
  • en cas de thermoélasticité avec contraintes initiales, la loi de comportement devient :

    

    avec les mêmes notations.

2.1.2 Formulations variationnelles

Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles.

Formulation en déplacements

C'est la formulation classique. Elle va nous permettre de fixer la terminologie et les notations.

Pour simplifier, seul le problème stationnaire est traité (le terme de 2.1 n'est pas considéré), et la dépendance du temps est volontairement négligée. La variable d'espace (x,y,z) est désignée par x.

Le problème s'écrit comme suit :

• Trouver, dans l'espace les déplacements solution de :

   

  avec

  
  où l'espace est défini par :
  

  et

  

• en pratique une formule de quadrature  est nécessaire.

  C'est à dire

  
  où
  • L désigne le nombre de points d'intégration,
  • les poids de la formule d'intégration et,
  • les coordonnées des points d'intégration.

  Alors, 2.8 est remplacée par :

  

  avec :

  
  où () respectivement () désigne la formule d'intégration numérique sur T et .

Autres Formulations

Les autres formulations variationnelles comme les formulations mixtes, les formulations hybrides primales ou bien les formulations hybrides duales ne sont pas décrites ici. Elles sont néanmoins utilisées par différents éléments finis de la bibliothèque Modulef. Pour une description détaillée de ces formulations consultez [Ciarlet], [Brezzi - Fortin] et [Roberts - Thomas].

Généralités sur le traitement du problème

Le but de ce paragraphe est d'indiquer la démarche suivi lors de l'implémentation d'un élément fini pour calculer les quantités élémentaires , ...

Dans tout ce qui suit, on considère le cas d'une formulation en déplacement sans contraintes initiales et/ou couplage thermoélastique. L'indice h est également ignoré.

Le problème à résoudre s'écrit donc :

ou encore

Soient , , ..., les fonctions de base. On note

Alors,

Ensuite, on note

De même, on exprime , le gradient de u, en fonction de et de par

avec pour matrice d'élasticité (donnée sous sa forme générale) :

Avec ces notations on peut écrire

• la matrice élémentaire de masse, soit
  
• la matrice élémentaire de rigidité, soit
  
• le second membre élémentaire, soit
  
• les contraintes élémentaires, soient
  

Le système global

Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux qui s'écrivent, en notant { } le vecteur des degrés de liberté, regroupés noeuds par noeuds (et non composantes par composantes), comme :

avec [] la matrice de permutation permettant de passer de la numérotation locale à la numérotation globale i.e. . L'opération correspondante représente la phase d'assemblage ; elle s'écrit, dans le cas de la matrice de rigidité par exemple, comme :