Suiv.: Cas axisymétrique Sup.: Les éléments finis élastiques Préc.: Le problème de l'élasticité tridimensionnelle Index Table des matières

Elasticité bidimensionnelle

Modélisation en E.D.P.

 
Figure: Présentation du problème 

La modélisation en E.D.P. s'écrit comme:

avec

• u(t,(x,y) le déplacement, à chaque instant t, du point courant (x,y)
• la densité du matériau,
• la composante j de la normale unitaire extérieure à ,
• les efforts surfaciques appliqués à et les efforts linéiques appliqués sur ,
• le déplacement imposé sur ,
• la condition initiale (t=0), item (u) le tenseur des déformations linéarisé symétrique de Green Lagrange (hypothèses des petites déformations)
  
• (u) le tenseur des contraintes
  Le tenseur des contraintes est lié au tenseur des déformations par la loi de comportement :

   

  où désigne le tenseur d'élasticité. Ce tenseur vérifie les propriétés suivantes :

  

• Déformations planes parallèles au plan z=0 :
  Sous cette hypothèse (=0.), lorsque le milieu continu est homogène isotrope, la loi de comportement (loi de Hooke) s'écrit en fonction des coefficients de Lamé et :

  

  où est le symbole de Kronecker.

  Les coefficients de Lamé et sont reliés à E le module de Young et le coefficient de Poisson (cf 2.4)

  De plus,

  • la présence de contraintes initiales et/ou de couplage thermique donnent des lois de comportement, similaires au cas 3D auquel on se reportera (cf paragraphe 2.1.1).

• Contraintes planes parallèles au plan z=0 :
  Sous cette hypothèse, on a =0. Ceci implique que est non nul et s'exprime en fonction de et . En particulier, dans le cas d'un matériau homogène isotrope, la loi de comportement devient :

   

  en posant , 2.17 s'écrit :

  

  Cette forme étant analogue à la précédente, le même traitement permet de résoudre les 2 problèmes.

2.2.2 Formulation variationnelle

Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles.

Nous étudions ici uniquement la formulation en déplacement.

La formulation variationnelle en déplacement de ces 2 problèmes est formellement identique à celle vue dans le cas de la dimension 3 (cf paragraphe 2.1.2) avec ici l'espace défini comme :

Généralités sur le traitement du problème

Le but de ce paragraphe est d'indiquer la démarche suivie lors de l'implémentation d'un élément fini pour calculer les quantités élémentaires , ...

Le passage aux quantités élémentaires est identique au cas de la dimension 3 (cf paragraphe 2.1.3).

Dans tout ce qui suit, on considère le cas d'une formulation en déplacement sans contraintes initiales et/ou couplage thermoélastique. L'indice h est également ignoré. La variable d'espace (x,y) est désignée par x.

Le problème à résoudre s'écrit donc :

ou encore

Soient , , ..., les fonctions de base. On note

Alors,

Ensuite, on note

De même, on exprime en fonction de et de par

peut être exprimé en fonction de D u

On note [ D] la matrice ci-dessus, ainsi

avec pour matrice d'élasticité (donnée sous sa forme générale) :

Avec ces notations on peut calculer sur chaque élément T :

• [] la matrice élémentaire de masse,
• [] la matrice élémentaire de rigidité,
• [] le second membre élémentaire et
• [] les contraintes élémentaires

Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux (voir également le cas de la dimension 3 paragraphe 2.1.4).