Suiv.: Généralités sur le traitement du Sup.: Le problème de la thermique Préc.: Modélisation en E.D.P. Index Table des matières

1.2 Formulations variationnelles

Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles selon l'inconnue la plus importante à trouver : la température ou le flux.

Pour simplifier, seul le problème stationnaire est traité (le terme de 1.1 n'est pas considéré), et la dépendance par rapport au temps t est volontairement négligée. La variable d'espace (x,y,z) est désignée par .

Formulation en "température"

Le problème s'écrit comme suit :

Trouver, dans l'espace la température u solution de :

où l'espace est défini par :

en pratique une formule de quadrature  est nécessaire. Alors, 1.2 est remplacée par :

avec

où () respectivement () désigne la formule d'intégration numérique sur T et .

1.2.2 Formulation duale

L'inconnue primordiale n'est plus la température mais le gradient de chaleur.

Soient

• m= 2 ou 3 (dimension de l'espace)
• {n} le vecteur normal à
• , la partie de , support des conditions aux limites de type Neumann, ie
  
• 
• 
• pout tout , sa trace appartient à
• < , > : la dualité entre et
• 
• 
• est l'inverse de la matrice de conductivité

On recherche (p=grad u) tel que

Sous certaines conditions de régularité, la solution p=grad u de 1.4 est solution de 1.1 et réciproquement.

1.2.3 Formulation mixte

Trouver (p = grad u, u ) tel que

où

et a(.,.) et b(.,.) sont des formes bilinéaires définies respectivement dans et par

Sous certaines conditions de régularité, la solution (p, u) de 1.5 est solution de 1.1 et réciproquement.

Exemples : TETR M3T1, TRIA MT10, QUAD MQ10, TRIA MT21, QUAD MQ21, HEXA M3H1

1.2.4 Formulation hybride primale

Soient

• une triangulation du domaine .
• 
• 
• 
  est un sous-espace de

Trouver tels que

Sous certaines conditions de régularité, la solution de 1.6 est solution de 1.1 et réciproquement.

Exemples : TRIA HT10

1.2.5 Formulation hybride duale

Soient

Trouver tel que :

avec

Sous certaines conditions de régularité, la solution de 1.7 est solution de 1.1 et réciproquement.

Exemples : TRI2 THD2

Formulation équilibre

Soient

où a(.,.), b(.,.) et d(.,.) sont définies dans 1.8

Sous certaines conditions de régularité, la solution de 1.9 est solution de 1.1 et réciproquement.

Par rapport à la formulation hybride duale( 1.7) où est la trace d'une fonction de donc dans , cette contrainte de continuité a été diminuée à et une continuité sur chaque arête extrémités non comprises.

Exemples : TRI2 TEQ2