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Modélisation en E.D.P.

La formulation de ce problème en équations aux dérivées partielles (E.D.P.) est donnée ci-dessous.

Par la suite, la convention des indices répétés est utilisée et, désigne , ...

avec

• le déplacement, à chaque instant t, du point courant (x,y,z).
• la densité volumique du matériau,
• la composante j de la normale unitaire extérieure à ,
• les efforts volumiques appliqués à et les efforts surfaciques appliqués sur ,
• le déplacement imposé sur ,
• la condition initiale (t=0),
• le tenseur des déformations linéarisé symétrique de Green Lagrange (hypothèses des petites déformations)
  
  
  
• le tenseur des contraintes.

  Le tenseur des contraintes est lié au tenseur des déformations par la loi de comportement :

   

  où désigne le tenseur d'élasticité. Ce tenseur vérifie les propriétés suivantes :

  

  Lorsque le milieu continu est homogène isotrope, la loi de comportement (loi de Hooke) s'écrit en fonction des coefficients de Lamé et :

  

  où est le symbole de Kronecker.

  Les coefficients de Lamé et sont reliés à E le module de Young et le coefficient de Poisson par

   

  De plus,

  • en présence de contraintes initiales, la loi de comportement devient:

    

    avec les contraintes initiales

  • en cas de couplage thermique, la loi de comportement devient :

    

    avec

    
    où
    • est le tenseur symétrique des déformations thermiques
    • le tenseur des dilatations thermiques,
    • la température à l'instant t au point (x,y,z) et,
    • la température à l'instant t=0 au point (x,y,z).
  • en cas de thermoélasticité avec contraintes initiales, la loi de comportement devient :

    

    avec les mêmes notations.