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Généralités sur le traitement du problème

Le but de ce paragraphe est d'indiquer la démarche suivie lors de l'implémentation d'un élément fini pour calculer les quantités élémentaires , ...

Le passage aux quantités élémentaires est identique au cas de la dimension 3 (cf paragraphe 1.3).

Dans tout ce qui suit, on considère le cas d'une formulation en déplacement sans contraintes initiales et/ou couplage thermoélastique. L'indice h est également ignoré. La variable d'espace (x,y) est désignée par x.

Le problème à résoudre s'écrit donc :

ou encore

Soient , , ..., les fonctions de base. On note

et

Alors,

avec la restriction à T de { u } et la composante i des valeurs de la fonction u aux noeuds de l'élément T.

Ensuite, on note

et

De même, on exprime en fonction de et de par

Les tenseurs puis s'écrivent

peut être exprimé en fonction de D u

On note [ D] la matrice ci-dessus, ainsi

En utilisant la loi de comportement 2.2, on exprime en fonction de :

avec pour matrice d'élasticité (donnée sous sa forme générale) :

Avec ces notations on peut calculer sur chaque élément T :

(voir le cas de la dimension 3 paragraphe 1.3).

Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux (voir également le cas de la dimension 3 paragraphe 1.4).

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