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Description rapide de la méthode

La méthode  de blocs, [George-1989d], [George-1990], permet de créer le maillage d'un domaine bidimensionnel ou tridimensionnel à partir du découpage structuré (par une méthode algébrique) d'un recouvrement grossier de ce domaine. Ce recouvrement consiste en un ensemble de blocs de géométrie standard (segment, triangle, quadrangle, tétraèdre, pentaèdre, hexaèdre) sur les arêtes desquels sont donnés des points de contrôle.

Les points de contrôle permettent d'une part, par leur position, de préciser la géométrie du domaine et d'autre part définissent la finesse du découpage donc la taille des éléments du maillage final. Ils doivent être en nombre égal sur 2 arêtes logiquement connectées.

 
Figure: Domaine, blocs initiaux et domaine approché 

Sur la figure 3.1, on montre le domaine à considérer, son recouvrement grossier en 2 blocs et son approximation par les points de contrôle fournis. On remarque que le nombre de points sur les arêtes connectées est le même. La figure 3.2 montre le résultat obtenu.

 
Figure: Domaine maillé à partir de la description fournie 

Les principales étapes de la méthode sont les suivantes:

• Donnée des sommets grossiers:

  La donnée des sommets grossiers permet de définir les blocs du recouvrement grossier. Ce dernier est fourni dans R³ (pour obtenir un maillage de R² on fixe la cote z à la valeur 0 en indiquant que l'on ne veut que stocker les abscisses et les ordonnées, ceci dans le cas de bloc de type segment, triangle et quadrangle; sinon on obtiendra le maillage de la surface  grossièrement décrite via ces blocs triangulaires ou quadrangulaires).

  Le maillage grossier doit remplir les conditions habituelles de conformité.

  La liste des sommets définissant les blocs obéit à certaines règles:

  • pour un segment ou un triangle: pas d'ordre imposé
  • pour un quadrangle: le premier sommet étant donné, fournir les suivants en parcourant la frontière dans un sens donné (quelconque)
  • pour un tétraèdre: pas d'ordre imposé
  • pour un pentaèdre: on donne en premier un triangle (ordre quelconque) puis le second triangle dans le même ordre
  • pour un hexaèdre: on donne une face quadrangulaire (cf. cas du quadrangle) puis la face opposée dans le même ordre

• Donnée des points de contrôle sur les arêtes grossières:

  Les points de contrôle permettent de mieux définir la géométrie réelle du bloc. Ils indiquent également le nombre de subdivisions du découpage qui sera effectué. On doit suivre les règles suivantes:

  • pour un segment: on peut spécifier un nombre n quelconque de points
  • pour un triangle: sur chaque arête, on doit donner le même nombre n de points
  • pour un quadrangle: il y a 2 nombres à spécifier: points sur les arêtes 1 et 3 et points sur les arêtes 2 et 4 (ces 2 valeurs sont indépendantes)
  • pour un tétraèdre: un seul paramètre n pour toutes les arêtes
  • pour un pentaèdre: une valeur sur les arêtes des faces triangulaires et une valeur indépendante sur les arêtes restantes
  • pour un hexaèdre: 3 paramètres indépendants correspondants aux arêtes se faisant face
  Les points de contrôle seront créés automatiquement ou donnés explicitement.

• Maillage des arêtes:

  Les arêtes sont découpés en sous-segments joignant les points de contrôle présents (créés par le module ou fournis explicitement). Une numérotation globale de ces points est effectuée.

• Maillage des faces:

  Les points des arêtes des faces sont transportés, selon le type de celle-ci, sur le triangle ou le quadrangle unité en respectant leurs positions respectives; la face unité est maillée de façon canonique et ce maillage est projeté sur la face réelle. étant un point du maillage canonique précédent, de coordonnées et , pour une face analogue à un triangle, on utilise la transformation:

  
  
  où désigne le sommet i de la face réelle et une paramétrisation du côté i de cette même face.

  Dans le cas d'une face analogue à un quadrangle on utilise la transformation:

  
  
  avec les mêmes notations.

• Découpage des blocs:

  Les points obtenus à ce stade (points grossiers, points de contrôle des arêtes et points des faces) permettent d'appliquer la même méthode aux blocs. Pour chaque bloc, l'ensemble de ses points est projeté sur le bloc unité de géométrie correspondante, ce dernier est maillé de façon canonique et ce maillage est projeté sur le bloc réel. Le numéro des sommets crées est construit à partir d'un pointeur global qui associe au triplet i,j,k repérant la position du point dans le bloc une valeur dépendant du bloc traité.

• Maillage final:

  Le maillage final est obtenu comme la réunion des maillages des différents blocs (le recollement est automatique car les interfaces (points, arêtes et faces communs à 2 blocs) ont été maillées auparavant dans une numérotation globale).

Les attributs physiques des items créés sont les suivants:

• Référence des points: les points sont soit des points grossiers, soit des points de contrôle sur les arêtes grossières, soit des points de faces grossières, soit encore des points internes aux blocs. Par suite, leurs numéros de référence sont ceux des points grossiers, ceux des arêtes grossières, ceux des faces grossières ou 0.
• Référence des arêtes: les arêtes sont soit portées par une arête grossière soit des arêtes d'une face grossière soit enfin des arêtes internes aux blocs. Par suite, leurs numéros de référence sont ceux des arêtes grossières, ceux des faces grossières ou 0.
• Référence des faces: les faces sont soit portées par une face grossière soit des faces internes aux blocs. Par suite, leurs numéros de référence sont ceux des faces grossières ou 0.
• Numéro de sous-domaines des éléments: le numéro de sous-domaine du bloc dont est issu l'élément est affecté à celui-ci.

Remarques :

• Dés lors que les blocs sont de volume positif, les sous-éléments sont correctement orientés (le programme assure cette orientation correcte au départ).
• Un maillage créé est faux si, généralement, la géométrie du bloc initial, est trop compliquée ou si les points de contrôle des arêtes sont mal positionnés.
• La numérotation des points n'est en aucun cas optimale (cf. méthode de renumérotation).