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Le problème modèle non symétrique

La résolution par la méthode des éléments finis d'équations aux dérivées partielles conduit le plus souvent à des systèmes linéaires à matrice symétrique définie positive. Pour obtenir une matrice non symétrique, il faut faire intervenir un schéma particulier dans la formulation variationnelle, de type décentrage par exemple. Ceci nécessite donc un traitement spécial dans la construction des matrices élémentaires, ou encore une modification dans l'assemblage de la matrice du système linéaire à résoudre.

Pour simplifier cette présentation, on supposera que l'on construit la matrice et le second membre du système linéaire de la manière habituelle. Dans ces conditions, les modules nécessaires sont les PREPAC, ASSMUA, ASEMBV, CLIMGC, GAUSPC et DRGAPC pour une résolution par méthode directe, PREPGC, ASSAMA, ASEMBV, CLIMGC, CONDLU et DGRADA pour une résolution par méthode itérative.

Le problème physique traité provient de la simulation numérique de l'exploitation d'un gisement de pétrole. La matrice est obtenue par un schéma de type différences finies à 7 points. Il s'agit d'un problème tridimensionnel, l'ouvert est un cube, et les noeuds du maillage sont répartis sur un réseau dans les trois directions de l'espace. L'exemple présenté ici comprend 1000 inconnues, correspondant à la pression calculée en chacun des noeuds du maillage (il y a 10 noeuds dans chaque direction de l'espace). La matrice résultante est fortement non symétrique, et mal conditionnée; ce système linéaire est utilisé par les ingénieurs pétroliers pour tester l'efficacité de leurs algorithmes de résolution et de préconditionnement.

Pour plus de détails sur la formulation variationnelle de ce problème, ainsi que sur son approximation par la méthode des éléments finis et différents aspects de la mise en oeuvre sur ordinateur, voir le [1]. On trouvera encore dans le [1] d'autres expériences numériques concernant la résolution de problèmes de ce type.

Résolution par la méthode de Gauss

La résolution du problème modèle par méthode directe se fait en appelant le module GAUSXX, avec les données suivantes :

 mail                   $ NOM DU FICHIER                  
     1                  $     ET NIVEAU DE LA SD MAIL
     1     5     3      $ NDSM  NTYP  ND
 tae                    $ NOM DU FICHIER                  
     1                  $     ET NIVEAU DE LA SD TAE 
     1                  $ 1 SI BDCL EST UTILISE , 0 SINON
 bdcl                   $ NOM DU FICHIER                  
     1                  $     ET NIVEAU DE LA SD BDCL
     0                  $ 1 SI CL. EN RL. EXISTE 
 b                      $ NOM DU FICHIER                  
     1                  $     ET NIVEAU DE LA SD B   
     3                  $ IMPREB

Voici les résultats correspondants :

 M   M    OOO    DDDD    U   U   L       EEEEE   FFFFF
 MM MM   O   O   D   D   U   U   L       E       F
 M M M   O   O   D   D   U   U   L       EEEE    FFFF
 M   M   O   O   D   D   U   U   L       E       F
 M   M    OOO    DDDD     UUU    LLLLL   EEEEE   F    VERSION 92

 DATE   : 01/06/92
 AUTEUR : joly                    
 *******************************************
 APPEL DE LA RESOLUTION PAR METHODE DE GAUSS
 *******************************************


-- CREATION DU DATA =-= EXECUTION MODULE (DATA EXISTANT) =-= FIN
   -                    -                                    -

E
 -- NOM DU FICHIER CONTENANT LES DONNEES ? 
data/gauss
 ++ OPEN(10,FILE='data/gauss',SPEC='OLD',RECL=0)
    -- PARAMETRE D'IMPRESSION POUR L'EXECUTION ? 
1
 ++ OPEN(11,FILE='mail',SPEC='OLD,UNFORMATTED',RECL=0)
 ++ OPEN(12,FILE='tae',SPEC='OLD,UNFORMATTED',RECL=0)
 ++ OPEN(13,FILE='bdcl',SPEC='OLD,UNFORMATTED',RECL=0)
 ++ OPEN(14,FILE='b',SPEC='UNFORMATTED',RECL=0)
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE PREPAC :                                                                                 
 NOMBRE DE MOTS DE LA MATRICE       (LMUA5) :   140960
 DIFFERENCE MAX ENTRE 2 NOEUDS D'UN ELEMENT (LBDP) :      111
 DIFFERENCE MAX ENTRE 2 D.L. D'UN ELEMENT (LBDPDL) :      111
 NOMBRE MAX DE NOEUDS D'UN ELEMENT (NNOMAX) :        8
 NOMBRE DE SECONDS MEMBRES           (NDSM) :        1
 NOMBRE DE MOTS EN M.C. POUR LA S.D. NDL1 (MCNDL1) :        0
 NOMBRE DE MOTS EN M.C. POUR LA S.D. MUA   (MCMUA) :   142007
 NOMBRE DE MOTS EN M.C. POUR LA S.D. B       (MCB) :     2045

 FIN DU MODULE PREPAC  
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE ASSMUA :                                                                                 
 FIN DU MODULE ASSMUA 
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE ASEMBV :                                                                                 
 FIN DU MODULE ASEMBV 
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE CLIMPC :                                                                                 
 FIN DU MODULE CLIMPC 
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE GAUSPC :                                                                                 
 ** NOMBRE D'INCONNUES                                 1000        
 ** LONGUEUR DU TABLEAU MUA5                         140960        
 ** TEMPS CALCUL FACTORISATION                 0.269517E+01 S.
 FIN DU MODULE GAUSPC 
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE DRGAPC :                                                                                 
 ** TEMPS CALCUL RESOLUTION                    0.231632E+00 S.
 FIN DU MODULE DRGAPC  
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

     IMPRESSION DE LA S.D. B    DE NIVEAU  1

 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 TITRE                           :                                                                                 
 DATE ET NOM UTILISATEUR         : 01/06/92  joly                    
 TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES : B   
 NIVEAU ET NUMERO D'ETAT         :      1     1
 NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES     :      0


 TABLEAU  B 2
 ------------
 TYPE DU TABLEAU                             (NTYT) :      5
 NOMBRE DE SES INDICES ET LEURS MAXI       (NIND..) :      2    
 TRAITEMENT (1:PAGES DE MEME TAILLE,0:SINON) (NCOD) :      1
 NOMBRE DE PAGES DU TABLEAU B4              (NBLOC) :      1
 NOMBRE DE NOEUDS                             (NOE) :   1000
 NOMBRE DE TABLEAUX B4 DANS CETTE S.D.     (NBBLOC) :      1
 NOMBRE CONSTANT DE D.L. PAR NOEUD OU 0        (ND) :      1
 NOMBRE DE D.L. OU LONGUEUR D'UNE PAGE DE B4 (NTDL) :   1000
 CODE DE STOCKAGE DE B                     (NCODSB) :     -1

 TABLEAU  B 3 
 ------------
  POINTEUR SUR LA DERNIERE LIGNE DE CHAQUE PAGE DE B


     1           0     2        1000

Résolution par Gradient Conjugué

La résolution du problème modèle par méthode itérative est obtenue en appelant le module DGRAXX, avec les données suivantes :

  
     1                                 $ 1 SI AMAT EXISTE 
 sd.amat                               $ NOM DU FICHIER                  
     1                                 $     ET NIVEAU DE LA SD AMAT
     1                                 $ 1 SI BE   EXISTE 
 sd.b                                  $ NOM DU FICHIER                  
     1                                 $     ET NIVEAU DE LA SD B   
     0                                 $ 1 SI BDCL EXISTE 
 sd.amac                               $ NOM DU FICHIER                  
     2                                 $     ET NIVEAU DE LA SD AMAC
     0                                 $ NIVEAU 
   1.000000                            $ SIGMA 
     0          0.                     $ 1 SI COMPRESSION RAPORT
  0.1000000E-03                        $ EPS
 sd.bs                                 $ NOM DU FICHIER                  
     2                                 $     ET NIVEAU DE LA SD B   
     3                                 $ IMPRESSION

Voici les résultats correspondants :

M   M    OOO    DDDD    U   U   L       EEEEE   FFFFF
 MM MM   O   O   D   D   U   U   L       E       F
 M M M   O   O   D   D   U   U   L       EEEE    FFFF
 M   M   O   O   D   D   U   U   L       E       F
 M   M    OOO    DDDD     UUU    LLLLL   EEEEE   F      VERSION 93

 DATE   :  4/02/94
 AUTEUR : joly                  
 ******************************************************************
 APPEL DE LA RESOLUTION GRADIENT CONJUGUE AVEC FICHIERS SEQUENTIELS
 ******************************************************************


 -- CREATION DU DATA  =-=  EXECUTION MODULE (DATA EXISTANT)  =-=  FIN  =-=  ?
    -                      -                                      -
E
 -- NOM DU FICHIER CONTENANT LES DONNEES ? 
data/dgrada
 -- PARAMETRE D'IMPRESSION POUR L'EXECUTION ? 
3
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE CONDLU :                                                                                 
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 SIGMA  =      1.00000       NIVEAU =    0
 NFAMAT =   11 NIAMAT =    1
 NFAMAC =   13 NIAMAC =    2

 LMAX , MAMAT5  3987534  332294
 NOMBRE D'INCONNUES                         1000
 NOMBRE DE COEFFICIENTS NON NULS DE A       3750
 FACTORISATION INCOMPLETE DE NIVEAU            0
 NOMBRE DE COEFFICIENTS NON NULS DE CA      3750
 ** NOMBRE D'INCONNUES                                 1000          **
 ** NIVEAU DE FACTORISATION                               0          **
 ** LONGUEUR DU TABLEAU AMAT5                          3750          **
 ** LONGUEUR DU TABLEAU AMAT6                          7500          **
 ** LONGUEUR DU TABLEAU AMAC5                          3750          **
 ** LONGUEUR DU TABLEAU AMAC6                          7500          **
 ** TEMPS CALCUL FACTORISATION                 0.200000D-01 SECONDES **
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 MODULE DGRADA :                                                                                 
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 EPS    = 0.100000E-03 NOMTA0 = //// NCLRL =    0
 NFBDCL =    0 NIBDCL =    0 NFNDL1 =    0 NINDL1 =    0
 NFAMAT =   11 NIAMAT =    1 NFBE   =   12 NIBE   =    1
 NFAMAC =   13 NIAMAC =    2 NFBS   =   14 NIBS   =    2

 INITIALISATION  A ZERO
 SYSTEME NO       1
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 RKNORM=  1981.60     ITEMAX=  200
 NB D ITERATIONS DU    1-EME SYSTEME=     17 NORME DU RESIDU 0.233566E-03
 ** TEMPS CALCUL RESOLUTION                    0.250000D+00 SECONDES **
 ** NOMBRE D'ITERATIONS                                  17          **
 FIN DU MODULE DGRADA
 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

     IMPRESSION DE LA S.D. B    DE NIVEAU  2

 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 TITRE                           :                                                                                 
 DATE ET NOM UTILISATEUR         : 06/05/93  pate                    
 TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES : B   
 NIVEAU ET NUMERO D'ETAT         :      2     0
 NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES     :      0


 TABLEAU  B 2
 ------------
 TYPE DU TABLEAU                             (NTYT) :      5
 NOMBRE DE SES INDICES ET LEURS MAXI       (NIND..) :      2     1  1000
 TRAITEMENT (1:PAGES DE MEME TAILLE,0:SINON) (NCOD) :      1
 NOMBRE DE PAGES DU TABLEAU B4              (NBLOC) :      1
 NOMBRE DE NOEUDS                             (NOE) :   1000
 NOMBRE DE TABLEAUX B4 DANS CETTE S.D.     (NBBLOC) :      1
 NOMBRE CONSTANT DE D.L. PAR NOEUD OU 0        (ND) :      1
 NOMBRE DE D.L. OU LONGUEUR D'UNE PAGE DE B4 (NTDL) :   1000
 CODE DE STOCKAGE DE B                     (NCODSB) :     -1

 TABLEAU  B 3 
 ------------
  POINTEUR SUR LA DERNIERE LIGNE DE CHAQUE PAGE DE B


     1           0     2        1000


Modulefpreviousupnextcontentsindex[BIG][Normal][small]
Suiv.: Bibliographie Sup.: 1 Exemples d'apprentissage Préc.: Le problème modèle symétrique Index Table des matières