Suiv.: Généralités sur le traitement du Sup.: Le problème de l'élasticité tridimensionnelle Préc.: Modélisation en E.D.P. Index Table des matières

1.2 Formulations variationnelles

Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles.

Formulation en déplacements

C'est la formulation classique. Elle va nous permettre de fixer la terminologie et les notations.

Pour simplifier, seul le problème stationnaire est traité (le terme de 1.1 n'est pas considéré), et la dépendance du temps est volontairement négligée. La variable d'espace (x,y,z) est désignée par x.

Le problème s'écrit comme suit :

• Trouver, dans l'espace les déplacements solution de :

   

  avec

  
  où l'espace est défini par :
  

  et

  

• en pratique une formule de quadrature  est nécessaire.

  C'est à dire

  
  où
  • L désigne le nombre de points d'intégration,
  • les poids de la formule d'intégration et,
  • les coordonnées des points d'intégration.

  Alors, 1.8 est remplacée par :

  

  avec :

  
  où () respectivement () désigne la formule d'intégration numérique sur T et .

1.2.2 Autres Formulations

Les autres formulations variationnelles comme les formulations mixtes, les formulations hybrides primales ou bien les formulations hybrides duales ne sont pas décrites ici. Elles sont néanmoins utilisées par différents éléments finis de la bibliothèque Modulef. Pour une description détaillée de ces formulations consultez [Ciarlet], [Brezzi - Fortin] et [Roberts - Thomas].