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Modélisation sous forme d'équations aux dérivées partielles

 
Figure: Présentation du problème 

Dans le cas où une dimension du domaine est petite par rapport aux 2 autres, si le matériau est homogène isotrope et si les efforts appliqués sont normaux au plan définissant la petite dimension et suffisamment faibles pour que l'hypothèse des petites perturbations soit valide, alors, le modèle tridimensionnel général, par intégration sur l'épaisseur, donne un modèle bidimensionnel qui approche bien le problème. Dans le cas où la surface moyenne est plane( Dans le cas inverse, on trouve les modèles de coques, voir plus bas.), ce modèle est celui des plaques dans lequel on calcule w la flèche de la plaque qui satisfait, en suivant le modèle de Kirchhoff, à l'E.D.P. suivante:

avec

• e l'épaisseur de la plaque,
• la densité volumique du matériau,
• D le module de rigidité à la flexion i.e. ,
• E le module de Young et le coefficient de Poisson

• dans le cas d'une plaque encastrée: ,
• pour un appui simple: où est le moment de flexion (que l'on trouvera en utilisant la formule de Green),
• pour une plaque libre: où est l'effort tranchant effectif (ces quantités apparaîtront par application de la formule de Green).

où l'on note . Par ailleurs,

Dans le cas transitoire, on ajoute la condition initiale portant sur w et sur , c'est-à-dire les deux valeurs au temps initial.