Suiv.: Elasticité bidimensionnelle
Sup.: Les éléments finis élastiques
Préc.: Les éléments finis élastiques
Index
Table des matières
Figure: Présentation du problème
Soit la région de occupée par la structure dans son état initial. On suppose que le milieu continu est soumis à l'action de forces de volume de densité et à l'action de forces de surfaces de densité s'exerçant sur la partie de la frontière . On suppose de plus qu'une partie de cette frontière est encastrée et que .
Le problème est de déterminer à tout instant t le champ des déplacements en tout point M de ainsi que le champ des contraintes à partir de la configuration initiale donnée .
La formulation de ce problème en équations aux dérivées partielles (E.D.P.) est donnée ci-dessous.
Par la suite, la convention des indices répétés est utilisée et, désigne , ...
avec
Le tenseur des contraintes est lié au tenseur des déformations par la loi de comportement :
où désigne le tenseur d'élasticité. Ce tenseur vérifie les propriétés suivantes :
Lorsque le milieu continu est homogène isotrope, la loi de comportement (loi de Hooke) s'écrit en fonction des coefficients de Lamé et :
où est le symbole de Kronecker.
Les coefficients de Lamé et sont reliés à E le module de Young et le coefficient de Poisson par
De plus,
avec les contraintes initiales
avec
oùavec les mêmes notations.
Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles.
C'est la formulation classique. Elle va nous permettre de fixer la terminologie et les notations.
Pour simplifier, seul le problème stationnaire est traité (le terme de 2.1 n'est pas considéré), et la dépendance du temps est volontairement négligée. La variable d'espace (x,y,z) est désignée par x.
Le problème s'écrit comme suit :
avec
où l'espace est défini par :et
C'est à dire
oùAlors, 2.8 est remplacée par :
avec :
où () respectivement () désigne la formule d'intégration numérique sur T et .
Les autres formulations variationnelles comme les formulations mixtes, les formulations hybrides primales ou bien les formulations hybrides duales ne sont pas décrites ici. Elles sont néanmoins utilisées par différents éléments finis de la bibliothèque Modulef. Pour une description détaillée de ces formulations consultez [Ciarlet], [Brezzi - Fortin] et [Roberts - Thomas].
Le but de ce paragraphe est d'indiquer la démarche suivi lors de l'implémentation d'un élément fini pour calculer les quantités élémentaires , ...
Dans tout ce qui suit, on considère le cas d'une formulation en déplacement sans contraintes initiales et/ou couplage thermoélastique. L'indice h est également ignoré.
Le problème à résoudre s'écrit donc :
ou encore
Soient , , ..., les fonctions de base. On note
etAlors,
avec la restriction à T de { u } et la composante i des valeurs de la fonction u aux noeuds de l'élément T.Ensuite, on note
et
De même, on exprime , le gradient de u, en fonction de et de par
Les tenseurs et s'écrivent : peut être exprimé en fonction de D u
On note [ D] la matrice ci-dessus, ainsi En utilisant la loi de comportement 2.2, on exprime en fonction de :
avec pour matrice d'élasticité (donnée sous sa forme générale) :
Avec ces notations on peut écrire
Pour chaque élément, on appelle :
Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux qui s'écrivent, en notant { } le vecteur des degrés de liberté, regroupés noeuds par noeuds (et non composantes par composantes), comme :
avec [] la matrice de permutation permettant de passer de la numérotation locale à la numérotation globale i.e. . L'opération correspondante représente la phase d'assemblage ; elle s'écrit, dans le cas de la matrice de rigidité par exemple, comme :
Le système ainsi obtenu peut être résolu par une méthode directe ou itérative (cf [Guide Modulef - 5]).