Suiv.: Cas axisymétrique
Sup.: Les éléments finis élastiques
Préc.: Le problème de l'élasticité tridimensionnelle
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Figure: Présentation du problème
La modélisation en E.D.P. s'écrit comme:
avec
où désigne le tenseur d'élasticité. Ce tenseur vérifie les propriétés suivantes :
où est le symbole de Kronecker.
Les coefficients de Lamé et sont reliés à E le module de Young et le coefficient de Poisson (cf 2.4)
De plus,
en posant , 2.17 s'écrit :
Cette forme étant analogue à la précédente, le même traitement permet de résoudre les 2 problèmes.
Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles.
Nous étudions ici uniquement la formulation en déplacement.
La formulation variationnelle en déplacement de ces 2 problèmes est formellement identique à celle vue dans le cas de la dimension 3 (cf paragraphe 2.1.2) avec ici l'espace défini comme :
Le but de ce paragraphe est d'indiquer la démarche suivie lors de l'implémentation d'un élément fini pour calculer les quantités élémentaires , ...
Le passage aux quantités élémentaires est identique au cas de la dimension 3 (cf paragraphe 2.1.3).
Dans tout ce qui suit, on considère le cas d'une formulation en déplacement sans contraintes initiales et/ou couplage thermoélastique. L'indice h est également ignoré. La variable d'espace (x,y) est désignée par x.
Le problème à résoudre s'écrit donc :
ou encore
Soient , , ..., les fonctions de base. On note
et
Alors,
avec la restriction à T de { u } et la composante i des valeurs de la fonction u aux noeuds de l'élément T.Ensuite, on note
et
De même, on exprime en fonction de et de par
Les tenseurs puis s'écrivent
peut être exprimé en fonction de D u
On note [ D] la matrice ci-dessus, ainsi
En utilisant la loi de comportement 2.15, on exprime en fonction de :
avec pour matrice d'élasticité (donnée sous sa forme générale) :
Avec ces notations on peut calculer sur chaque élément T :
Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux (voir également le cas de la dimension 3 paragraphe 2.1.4).