Suiv.: 2.4 Cas des plaques
Sup.: Les éléments finis élastiques
Préc.: Elasticité bidimensionnelle
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Figure: Coordonnées cylindriques
Par hypothèses sur la géométrie du domaine, tout point M(x,y,z) est complètement défini par les variables avec:
Le déplacement s'exprime avec ces variables comme:
où désigne le déplacement radial. Le déplacement est donc connu par sa composante radiale et sa composante axiale qui sont les 2 inconnues cherchées.
On suppose de plus que les données sont réparties de manière analogue, i.e. que s'exprime par et que s'écrit sous la même forme.
Comme on a :
le système général (i.e. le modèle 3D) s'écrit dans le cas isotrope :
avec
et où , désignent les composantes de la normale à frontière déduite par axisymétrie de . De plus, les conditions limites sont : et sur frontière déduite de par axisymétrie.
Plusieurs formulations variationnelles sont possibles, nous détaillons ici uniquement la formulation variationnelle en déplacement :
Trouver, dans l'espace , à chaque instant t, les déplacements solution de :
pour tout de avec avecoù les espaces sont définis par :
Le but de ce paragraphe est d'indiquer la démarche suivie lors de l'implémentation d'un élément fini pour calculer les quantités élémentaires.
Pour simplifier, on se place dans le cas stationnaire.
Le passage aux quantités élémentaires se fait de la même manière que dans le cas de la dimension 3 (cf paragraphe 2.1.3).
Soient , , ..., les polynômes de base. On note
etAlors,
avec la restriction à T de { u } et la composante i des valeurs de la fonction u aux noeuds de l'élément T.Ensuite, on note
et
De même, on exprime en fonction de et de par
Les tenseurs et s'écrivent : avec (idem pour )
s'exprime en fonction de Du s'écrit en fonction de par où est la matrice des déformations i.e.
On note la matrice ci-dessus, ainsi
En utilisant la loi de comportement, on exprime {} en fonction de {} :
avec (sous sa forme générale):
On peut alors calculer sur chaque élément T :
Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux (voir également le cas de la dimension 3 paragraphe 2.1.4).