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Le problème de la thermique tridimensionnelle

Soit la région de occupée par la structure dans son état initial. On suppose que le milieu continu est soumis à une distribution de puissance volumique de densité et à l'action d'un flux de densité s'exerçant sur la partie de la frontière . On suppose de plus qu'une partie de cette frontière est à une température imposée et que .

Le problème est de déterminer le champ des températures u en tout point M de ainsi que le champ des flux de température à tout instant t à partir de la configuration initiale donnée .

Modélisation en E.D.P.

La formulation de ce problème en équations aux dérivées partielles (E.D.P.) est donnée ci-dessous :

avec

• u la température, à chaque instant t, du point courant
• le flux de température

• le produit de la masse thermique par la chaleur massique,
• k le tenseur de conductivité thermique représenté par la matrice [K] par la suite,
• g le coefficient de transfert à travers la frontière ,
• n la normale unitaire extérieure à ,
• la puissance volumique appliquée à
• le flux appliqué sur ,
• la température imposée sur ,
• la température initiale (t=0),

3.1.2 Formulations variationnelles

Plusieurs formulations variationnelles à un ou plusieurs champs sont possibles selon l'inconnue la plus importante à trouver : la température ou le flux.

Pour simplifier, seul le problème stationnaire est traité (le terme de 3.1 n'est pas considéré), et la dépendance par rapport au temps t est volontairement négligée. La variable d'espace (x,y,z) est désignée par .

Formulation en "température"

Le problème s'écrit comme suit :

Trouver, dans l'espace la température u solution de :

où l'espace est défini par :

en pratique une formule de quadrature  est nécessaire. Alors, 3.2 est remplacée par :

avec

où () respectivement () désigne la formule d'intégration numérique sur T et .

Formulation duale

L'inconnue primordiale n'est plus la température mais le gradient de chaleur.

Soient

• m= 2 ou 3 (dimension de l'espace)
• {n} le vecteur normal à
• , la partie de , support des conditions aux limites de type Neumann, ie
  
• 
• 
• pout tout , sa trace appartient à
• < , > : la dualité entre et
• 
• 
• est l'inverse de la matrice de conductivité

On recherche (p=grad u) tel que

Sous certaines conditions de régularité, la solution p=grad u de 3.4 est solution de 3.1 et réciproquement.

Formulation mixte

Trouver (p = grad u, u ) tel que

où

et a(.,.) et b(.,.) sont des formes bilinéaires définies respectivement dans et par

Sous certaines conditions de régularité, la solution (p, u) de 3.5 est solution de 3.1 et réciproquement.

Exemples : TETR M3T1, TRIA MT10, QUAD MQ10, TRIA MT21, QUAD MQ21, HEXA M3H1

Formulation hybride primale

Soient

• une triangulation du domaine .
• continu aux inter-éléments de
• 
• 
  est un sous-espace de

Trouver tels que

Sous certaines conditions de régularité, la solution de 3.6 est solution de 3.1 et réciproquement.

Exemples : TRIA HT10

Formulation hybride duale

Soient

Trouver tel que :

avec

Sous certaines conditions de régularité, la solution de 3.7 est solution de 3.1 et réciproquement.

Exemples : TRI2 THD2

Formulation équilibre

Soient

où a(.,.), b(.,.) et d(.,.) sont définies dans 3.8

Sous certaines conditions de régularité, la solution de 3.9 est solution de 3.1 et réciproquement.

Par rapport à la formulation hybride duale( 3.7) où est la trace d'une fonction de donc dans , cette contrainte de continuité a été diminuée à et une continuité sur chaque arête extrémités non comprises.

Exemples : TRI2 TEQ2

Généralités sur le traitement du problème

Dans tout ce qui suit, on considère le cas d'une formulation en température, sans tenir compte des effets des déformations d'origine élastique initiales. L'indice h est ignoré.

Le problème à résoudre s'écrit donc :

Soient , , ..., les polynômes de base. On note

Alors,

Ensuite, on note

De même, on exprime en fonction de [ D P] et de par

Avec pour matrice de conductivité (donnée sous sa forme générale):

Avec ces notations on peut écrire

Pour chaque élément, on appelle :

• la matrice élémentaire de masse, soit
  
• la matrice élémentaire de rigidité, soit
  
• le second membre élémentaire, soit
  
• les flux élémentaires, soient
  

Le système global

Pour obtenir le système à résoudre, il suffit de construire les matrices et seconds membres globaux qui s'écrivent, en notant le vecteur des degrés de liberté, regroupés noeuds par noeuds, comme:

Trouver vérifiant sur

pour tout tel que v= 0 sur

avec la matrice permettant de passer de la numérotation locale à la numérotation globale i.e. . L'opération correspondante représente la phase d'assemblage; elle s'écrit, dans le cas de la matrice de rigidité par exemple, comme:

Le système ainsi obtenu peut être résolu par une méthode directe ou itérative (cf [Guide Modulef - 5]).