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Modélisation en E.D.P.

 
Figure: Présentation du problème 

La modélisation en E.D.P. s'écrit comme:

avec

• u(t,(x,y) le déplacement, à chaque instant t, du point courant (x,y)
• la densité du matériau,
• la composante j de la normale unitaire extérieure à ,
• les efforts surfaciques appliqués à et les efforts linéiques appliqués sur ,
• le déplacement imposé sur ,
• la condition initiale (t=0), item le tenseur des déformations linéarisé symétrique de Green Lagrange (hypothèses des petites déformations)
  
• le tenseur des contraintes
  Le tenseur des contraintes est lié au tenseur des déformations par la loi de comportement :

   

  où désigne le tenseur d'élasticité. Ce tenseur vérifie les propriétés suivantes :

  

• Déformations planes parallèles au plan z=0 :
  Sous cette hypothèse (), lorsque le milieu continu est homogène isotrope, la loi de comportement (loi de Hooke) s'écrit en fonction des coefficients de Lamé et :

  

  où est le symbole de Kronecker.

  Les coefficients de Lamé et sont reliés à E le module de Young et le coefficient de Poisson (cf 1.4)

  De plus,

  • la présence de contraintes initiales et/ou de couplage thermique donnent des lois de comportement, similaires au cas 3D auquel on se reportera (cf paragraphe 1.1).

• Contraintes planes parallèles au plan z=0 :
  Sous cette hypothèse, on a . Ceci implique que est non nul et s'exprime en fonction de et . En particulier, dans le cas d'un matériau homogène isotrope, la loi de comportement devient :

   

  en posant , 2.4 s'écrit :

  

  Cette forme étant analogue à la précédente, le même traitement permet de résoudre les 2 problèmes.