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hexapq1d

DESCRIPTION DE L'ELEMENT

• Dimension de l'espace : 3, élément tridimensionnel piézoélectrique
• Inconnues : , , et , les déplacements suivant x, y, z et le potentiel électrique
• Formulation variationnelle : en 'déplacements et potentiel électrique'
• Numéro de code : 200 116
• numéro de code géométrique : 7 (hexaèdre)
• Interpolation : Q1-Lagrange
• Nombre de points : 8
• Nombre de types de points : 1
• Les points sont définis par leurs seules coordonnées : NCACAR=0
• Nombre de noeuds : 8
• Nombre de types de noeuds : 1
• Type des noeuds : les sommets, 4 d.l. par noeud, 'VN' pour , , et 'PHIE' pour
• Points et noeuds coïncident partout : NCOPNP=1
• Fichier POBA : nécessaire
• Blocage (S.D. BDCL) : (noeud) = valeur, (noeud) = valeur
• Sous-programmes utilisateurs : non
• Prise en compte de la thermoélasticité : non
• Prise en compte de contraintes initiales : non

 
Figure: Elément HEXA PQ1D 

Coordonnées sur l'élément de référence:

INTEGRATION NUMERIQUE

-

Intégration de volume: Intégration numérique aux 8 points de Gauss.

• npiv=8
• pour i=1,npiv
• pour i=1,4 comme ci-dessous avec
• pour i=4,8 comme ci-dessous avec

-

Intégration de surface: Intégration numérique aux 4 points de Gauss.

• npis=4
• pour i=1,npis
• , , ,
• avec et

LES DONNEES A FOURNIR (en double précision)

-

S.D. MILI:

• la matrice de masse , partie
  • la masse volumique supposée constante par élément.
• la matrice de rigidité , partie

  le paramètre NOTEL permet de spécifier la nature du problème: repère x,y,z sans perte (1), repère x,y,z avec pertes (101), autre repère sans perte (2),autre repère avec pertes (102)

  NOTEL =1

  • , , , , ,

    ,,

    ,

  NOTEL =101

  • Partie Réelle :

    , , , , ,

    ,,

    ,

  • Partie Imaginaire :

    , , , , ,

    ,,

    ,

  NOTEL =2

  • , , ,,,, , ,,,, , ,,, ,,, ,,

    ,,,,,, ,,,,,, ,,,,,

    , ,, , ,

  NOTEL =102

  • Partie Réelle :

    , , ,,,, , ,,,, , ,,, ,,, ,,

    ,,,,,, ,,,,,, ,,,,,

    , , , , ,

  • Partie Imaginaire :

    , , ,,,, , ,,,, , ,,, ,,, ,,

    ,,,,,, ,,,,,, ,,,,,

    , ,, , ,

• le tableau des contraintes : comme pour s'il est calculé, rien sinon.

-

S.D. FORC: NDSM seconds membres.

• terme de surface , partie
  • Calcul sans perte :

    pour i=1,NDSM; j=1,3; k=1,npis; la composante j du cas de charge i au point d'intégration k de la face.

  • Calcul avec pertes :

    pour i=1,NDSM; j=1,3; k=1,npis; la composante j du cas de charge i au point d'intégration k de la face (pour partie réelle ).

    pour i=1,NDSM; j=1,3; k=1,npis; la composante j du cas de charge i au point d'intégration k de la face ( pour partie imaginaire) .

Remarques

• Afin d'assurer un bon conditionnement des matrices de rigidité pour la plupart des matériaux piézoélectriques (céramiques PZT), il est introduit un facteur entre les déplacements et les potentiels électriques. Il faut donc choisir un système d'unités compatible avec ce facteur pour les données à fournir. Un choix convenable sera par exemple:
  • déplacements en (microns)
  • potentiels électriques en kV (kilo Volts)
  • longueurs en m (mètres)
  • en MPa (méga Pascals)
  • en (milli Coulombs par mètre carré)
  • en (pico Farads par mètre)
  • contraintes en Pa (Pascals)
  • densités surfaciques de charge électrique q en (nano Coulombs par mètre carré)
  • densités surfaciques d'effort en Pa (Pascals)
  • masses volumiques en (kilogrammes par mètre cube)
  • fréquences en kHz (kilo Hertz)
  • temps en ms (milli secondes)
  • courants électriques I en (micro Ampères)
  • vitesses en (millimètres par seconde)
  • accélérations en (mètres par seconde au carré)
• On remarquera que le terme de surface du second membre est uniquement une densité surfacique d'effort; le terme électrique correspondant (densité surfacique de charge électrique) n'est pas introduit car, dans la plupart des problèmes pratiques, on imposera sur des surfaces (les électrodes) les potentiels électriques (blocages: S.D. BDCL).

• Le fichier POBA est organisé comme suit ( tableau 3Q1G, 316 valeurs ) :
  • les poids en volume (8 valeurs)
  • les poids en surface (4 valeurs)
  • [P] les polynômes aux points d'intégration volumique (64 valeurs)
  • [P] les polynômes aux points d'intégration surfacique (16 valeurs)
  • [DP] les dérivées des polynômes aux points d'intégration volumique (192 valeurs)
  • [DP] les dérivées des polynômes aux points d'intégration surfacique (32 valeurs)